(Στοιχεῖα Εὐκλείδου ) Trasformations in the plan “ A mathematical walking in our country”
Artefatti (ciò che si intende usare, anche più di uno) a) PANTOGRAFO PER SIMMETRIA CENTRALE. PANTOGRAFO DI SYLVESTER (ROTAZIONI).
b) BIELLISMO SIMMESTRIA ASSIALI ORTOGONALI
c) Traslatore del Kempe
d) Omotetia: pantografo di Scheiner ?
Livello scolastico
Studenti di una prima liceo Classico (terzo anno della scuola secondaria superiore). Concetti di geometria appresi: Primi elementi della geometria Euclidea. Primi elementi delle geometria analitica.
Durata della sperimentazione (minimo 6 ore)
Le ore settimanali a disposizione sono solo 3, ma mi auguro di poter usufruire della collaborazione di altri colleghi coinvolgendo ( filosofia, inglese, scienze). Certamente dedicheremo almeno 6 ore al progetto e forse 8.
Periodo previsto
Dal 5 marzo al 20 marzo
Obiettivo/i della sperimentazione
(sotto-obiettivi)
Gli obiettivi principali per la sperimentazione nella programmazione della attività didattica delle “Macchine Matematiche” in un liceo classico,sono molteplici:
a) Avvicinare gli studenti alla cultura scientifica che si fonda sulla ricerca e storicamente sull’uso di strumenti
b) Innovazione didattica per l’apprendimento della geometria delle trasformazioni e delle coniche
c) Inserire la conoscenza matematica in progetto di ampio respiro culturale e rispondere così anche alle esigenze rilevate nel profilo culturale, educativo e professionale dei Licei e riportate nella riforma dei Licei presentata dal MIUR.
d) Costituire un Laboratorio di matematica perché occorre il concorso e la piena valorizzazione di tutti gli aspetti del lavoro scolastico e dunque favorire
- lo studio della disciplina in una prospettiva sistematica, storica e critica;
- la pratica dei metodi di indagine propri dei diversi ambiti disciplinari;
- l’esercizio di lettura, analisi, traduzione di testi letterari, filosofici, storici, scientifici, saggistici e
- di interpretazione di opere d’arte;
- l’uso costante del laboratorio per l’insegnamento delle discipline scientifiche;
- la pratica dell’argomentazione e del confronto attraverso una attività quali indicate dal cooperative learning;
- la cura di una modalità espositiva scritta ed orale corretta, pertinente, efficace e personale (diario di bordo);
- l‘uso degli strumenti proposti come compassi, righelli, macchine matematiche ma anche multimediali a supporto dello studio e della ricerca ( Cabrì II, Geogebra, Derive 5, www.explorelearning.com ).
- Saper sostenere una propria tesi e saper ascoltare e valutare criticamente le argomentazioni altrui.
- Acquisire l’abitudine a ragionare con rigore logico, ad identificare i problemi e a individuare possibili soluzioni.
- Elaborare un prodotto multimediale ( e partecipare al concorso di Policultura e ad uno di etwinning detto Polygomath)
Contenuti matematici
Classe 1^A _Terzo anno di liceo classico : 26 alunni
Argomento: le trasformazioni geometriche del piano sia Euclideo che Cartesiano (equazioni delle trasformazioni geometriche)
- Simmetria assiale
- Simmetria centrale
- Traslazioni
- Omotetie
- La retta
• Lavoro a piccoli gruppi: analisi degli artefatti e degli strumenti
• Materiale della formazione
• Resoconto collettivo di ogni incontro _ resoconto anche fotografico
• Diario dell’insegnante - tutor
• Diario di bordo
• Diario degli studenti
• Piattaforma TED - learning classe virtuale -
– Forum su percorsi, macchine usate
– Materiale utilizzato in classe
• Elaborazione di un prodotto multimediale sulla esperienza e partecipazione al concorso Policultura del Politecnico di Milano
• Allestimento di una mostra a scuola sulla ricerca svolta
Data Modulo - argomento Elementi di contenuto strumenti
Primo incontro
05 marzo 2010
Ore 12.05 – 13.00
Allestimento del laboratorio di matematica
e costituzione dei gruppi di studio
Secondo incontro
06 marzo 2010
Ore 10.05 – 11.00
Ore 12.05 – 13.00
Analisi degli artefatti:
simmetria centrale e assiale
Il meccanismo è costituito da un rombo articolato ABCP con il lato AB imperniato al piano del modello nel suo punto medio O. L'asta CB è prolungata di un tratto BQ=CB. La macchina realizza una corrispondenza tra due regioni limitate del medesimo piano in cui P e Q sono sempre allineati con O; inoltre PO=OQ.
La trasformazione generata è la simmetria centrale con centro in O.
Simmetria assiale ortogonale
(asse fisso)
Un rombo articolato ha due vertici opposti vincolati a cursori che scorrono entro una scanalatura rettilinea s.
Il biellismo ha due gradi di libertà: i vertici liberi del rombo (P e Q) descrivono perciò due regioni piane (limitate) che si trovano in semipiani opposti aventi s come origine comune. La posizione di P determina univocamente quella di Q (e viceversa).
Dalla semplice geometria del sistema meccanico si ricava subito che:
• la retta PQ è perpendicolare ad s;
• i punti P e Q sono equidistanti da s.
Perciò P e Q si corrispondono nella simmetria assiale ortogonale di asse s.
Se (per es.) P è vincolato a una traiettoria assegnata, Q descrive la traiettoria simmetrica rispetto ad s. 1) Costituzione di 6 gruppi di lavoro con 2 osservatori
2) Individuazione dei compiti e dei ruoli dei componenti del gruppo
3) Predisposizione di schede di lavoro per la raccolta dei dati e delle osservazioni
4) Schema per il diario di bordo
e) PANTOGRAFO PER SIMMETRIA CENTRALE. PANTOGRAFO DI SYLVESTER (ROTAZIONI).
f) BIELLISMO SIMMESTRIA ASSIALI ORTOGONALI
1) ABCP è un rombo articolato, il lato AB è imperniato al piano del modello nel suo punto medio O. L'asta CB è prolungata di una lunghezza BQ=CB. I punti P e Q hanno due gradi di libertà, la macchina realizza una trasformazione in cui P e Q si corrispondono. Poichè in ogni posizione P e Q sono allineati con O e PO=OQ , la corrispondenza generata è la simmetria centrale con centro O.
2) PBQC è un rombo articolato; i vertici B e C sono vincolati a scorrere nella scanalatura s. I vertici P e Q hanno in tal modo due gradi di libertà. La macchina realizza una corrispondenza fra due regioni di piano che giacciono su semipiani opposti rispetto ad s. Poichè in ogni posizione PQ è perpendicolare a BC ed è dimezzato da questo, la corrispondenza generata è la simmetria assiale ortogonale.
LINK:
geometria a per tu
http://archiviomacmat.unimore.it/geometria/GeoTuPerTu/mostrageotupertu/sim_as.htm
Data Modulo - argomento Elementi di contenuto strumenti
Primo incontro
08 aprile 2010
Ore 14.30 – 16.00
Visita al laboratorio di matematica
Presso il Dipartimento di Matematica in via Campi
Dalle coniche nello spazio di Menecmo_Apollonio_la macchina di Cartesio
Il Compasso perfetto
Secondo incontro
09 Aprile 2010
Ore 12.05 – 13.00
Introduzione storica dello studio delle coniche da Menecmo - Apollonio a Cartesio
Sezioni coniche (Menecmo): Amblitome Oxitome_ Ortotome 1) Presentazione in power point sulla introduzione storica dell’argomento.
2) Costituzione di 6 gruppi di lavoro con 2 osservatori
3) Individuazione dei compiti e dei ruoli dei componenti del gruppo: un Coordinatore_ due studenti che utilizzano la macchina_ un relatore _ descrittore _ tutti devono compilare la scheda allegata alla attività di esplorazione della macchina
4) Predisposizione di schede di lavoro per la raccolta dei dati e delle osservazioni
5) Predisposizione di schede di lavoro per esercitarsi
6) Schema per il diario di bordo
e) Parabolografo a filo
Questo strumento a filo, che De L'Hospital impiega nel suo trattato sulle sezioni coniche (ed. 1720) per definire la parabola, è descritto da Kepler ("Ad Vitellionem Paralipomena", ed. 1604) insieme a quelli (più facili da ideare perchè implicitamente contenuti nelle proposizioni 51 e 52 del libro III° di Apollonio) che tracciano ellissi ed iperboli: in modo particolarmente interessante perchè fa ricorso al concetto di infinito attuale e al codice dell'analogia. "A lungo mi dolsi" - scrive Kepler - di non saper descrivere col filo anche una parabola: finalmente l'analogia mi mostrò una soluzione". Se infatti si immagina una parabola di fuoco F come una ellisse avente uno dei fuochi in F e l'altro a distanza "infinita" da F (sicché la retta che lo congiunge a un punto P della curva diventa parallela all'asse di questa), sia la somma delle distanze dei due fuochi da P, sia la loro differenza, è una semiretta: che può essere considerata di lunghezza costante. Quindi è possibile immaginare la parabola sia come ellisse che come iperbole. Poichè la parabola è il luogo dei punti equidistanti da una retta (direttrice) e da un punto ad essa esterno (fuoco), nello strumento (costruito per "analogia" con un ellissografo o iperbolografo) la lunghezza totale del filo teso risulta pari alla distanza fra la direttrice e una retta a questa parallela (base del segmento parabolico tracciato).
LINK:
geometria a per tu
http://archiviomacmat.unimore.it/geometria/GeoTuPerTu/mostrageotupertu/sim_as.htm
So when Kepler points out the significance of the focus (here we find the first appearance of this term in western mathematics!) he interprets the parabola as a hyperbola or an ellipse with an infinitely distant focus that occurs at both ends of the axis and is the meeting point of all lines running parallel to the axis. Afterwards, he explains the string constructions for the hyperbola and the ellipse, followed by the corresponding construction for the parabola which he had invented by this same analogy.
Kepler appreciates the role of analogy as a means of discovery:
„Oportet enim nobis servire voces Geometricas analogiae: Plurimum namque amo analogias, fidelissimos meos magistros, omnium naturae arcanorum conscios: in Geometria praecipue suspiciendos, dum infinitos casus interiectos intra sua extrema, mediumque, quantumvis absurdis locutionibus concludunt, totamque rei alicuius essentiam luculenter ponunt ob oculos."
"It is useful for us to have the geometric terms directed by analogy. For I love analogies above all: they are my most reliable masters, acquainted with all the secrets of nature. In geometry, one should hold them in high regard especially when they link together an infinite number of cases lying between the extremes and the mean - however discordant their language may be - and clearly present to our eyes the whole essence of any matter."
2)Analisi degli artefatti:
Parabolografo a filo
Il meccanismo è costituito Una squadra costituita dalle aste perpendicolari a e b ha il lato a scorrevole su una guida rettilinea s; O è un perno fissato sul piano e A è un perno fissato su b. Un filo di lunghezza l=AH è vincolato nei suoi estremi ai punti A e O. Se si fa scorrere a lungo s e contemporaneamente con la punta di una matita si mantiene il filo teso e accostato all'asta b, si disegna un arco di parabola avente fuoco in O e direttrice coincidente con s. Si ha infatti PO=l-AP=AH-AP=PH. Nella macchina il sistema è raddoppiato in modo da poter disegnare due archi simmetrici di parabola.